假想一个游戏:扔硬币,正面你赢 2 倍,反面你输本金。理论上长期期望值 = +50%,怎么下都赚钱?错。如果你每次全押,只要一次反面就归零——期望值再正,long-run 概率 1 的破产。
这就是 John Kelly 1956 年在论文 A New Interpretation of Information Rate 里要解决的问题:长期资金指数增长最大化的下注比例。他的答案就是凯利公式。
60% 胜率、1:1 盈亏比 → 期望值正,但单笔 100% 仓位 6 把后概率归零。下注大小改变"算术期望"变成"几何期望"——这是复利机制核心。
连续两年 +50%、-50%:算术平均 0%,但几何平均 = √(1.5×0.5) - 1 = -13.4%。复利世界只看几何平均,这是为什么大回撤比大收益更重要。
同一个策略,不同仓位可以让 Sharpe 0.8 的策略变成 Sharpe 3 的"灾难"(过满)或者 Sharpe 0.2 的"平稳"(过轻)。Sharpe 比率不变,但长期复合收益率完全不同。
① 凯利(几何最优,但假设已知真实概率)
② 波动率目标(锁定组合波动)
③ 均值方差(给定收益目标下最小波动)
④ 风险平价(每个资产贡献等量风险)。四种方法回答的是不同问题。
专业投资者把 70% 精力放在风险预算,30% 在方向。散户恰好反过来。Ed Thorp、Jim Simons、Paul Tudor Jones 都公开表示过:"The key to wealth is not being wrong, it's not being wrong big."
凯利公式之前,先要搞清期望值(Expected Value)。没有正 EV 再完美的仓位公式也挽救不了亏损策略。
很多新手拿凯利公式去套明显负期望的策略(比如"每天买开盘 / 卖收盘"),结果是"更快爆仓"。凯利对正期望策略给出最优 sizing,对负期望策略给出"最快亏光"的 sizing——它只是放大器,不是魔法棒。
凯利公式有三种常用形式,分别对应:二元下注(赌博)、多元独立下注(组合)、连续分布(金融资产)。先从最简单的入手。
凯利的三个数学性质:
① 长期几何增长率最大化(log-optimal)
② 达到任何财富目标时间最短
③ 永不破产(假设连续可调整仓位)
但有三个前提:
① 概率 + 赔率"准确已知"
② 可以无限分割仓位
③ 只关心长期 log-wealth
| 场景 | 胜率 p | 盈亏比 b | 凯利 f* | 含义 |
|---|---|---|---|---|
| Thorp 21 点 | 51% | 1:1 | 2% | 每手下 2% bankroll |
| 趋势跟踪 CTA | 40% | 3:1 | 20% | 单品种 20% 仓位 |
| 日内动量 | 55% | 1:1 | 10% | 胜率稍高,盈亏持平 |
| Merger Arb | 90% | 1:15 | 3.3% | 高胜率 + 极低赔率 |
| 事件驱动 | 50% | 2:1 | 25% | 赔率好补偿中等胜率 |
| SP500 (连续) | — | μ=6%, σ=16% | 234% | 理论全仓 + 135% 杠杆(不现实) |
现实里概率和赔率都是估计的——你以为的 60% 可能是真实 52%。这种"参数不确定性"导致真实世界应该用分数凯利(见 §04),而不是全凯利。专业投资者实际下注通常是半凯利或四分之一凯利。
学术 Kelly 在"参数完全已知"的假设下是最优的。现实中参数永远有误差,所以专业投资者"打折"使用——这就是 Fractional Kelly(分数凯利)。
| 下注倍数(vs 凯利) | 几何增长率(相对) | 最大回撤(样本) | 评价 |
|---|---|---|---|
| 0.25×(Quarter Kelly) | 44% | ~15% | 极稳健 |
| 0.5×(Half Kelly) | 75% | ~25% | 黄金区间 |
| 0.75× | 94% | ~40% | 偏激进 |
| 1.0×(Full Kelly) | 100% | ~50%+ | 数学最优 |
| 1.5× | 75% | ~75%+ | 超额下注(负面) |
| 2.0× | 0% | 极大 | 零增长 |
| > 2.0× | 负值 | 接近 100% | 长期必破产 |
破产风险(Risk of Ruin)是赌博理论的核心概念。对于有限样本 + 凹效用函数的玩家,Sharpe 比率、EV、凯利都可能骗你——但"账户归零的概率"永远骗不了人。
波动率目标化(Vol Targeting)是机构投资者用得最广的仓位方法。比凯利更简单,不需要估期望收益——只需要把组合波动率锁定在目标水平。
| 策略 | Target σ |
|---|---|
| 保守多元组合(60/40 类) | 6-8% |
| 稳健绝对收益 | 8-10% |
| 股票基金 | 12-16% |
| 对冲基金(典型) | 10-15% |
| CTA 趋势 | 15-20% |
| 激进多空 | 20-30% |
Harry Markowitz 1952 年在 Portfolio Selection 里建立现代资产组合理论(MPT),拿了 1990 诺贝尔经济学奖。凯利 1956 是他 4 年后。两者都在问"如何分配仓位",只是目标函数不同:Markowitz 最小化方差给定收益,Kelly 最大化几何增长。
MPT 用历史估计 μ 和 Σ 作输入,但μ 的估计误差远大于 Σ。小误差会被优化器放大成极端权重(做空某资产 300%、做多某资产 400%)。实务几乎从不直接用 MPT,而是用:Black-Litterman / Shrinkage / Risk Parity / Equal Weight 等 robust 变体。简单的 60/40 长期 Sharpe 常常和"科学最优"的 MPT 相当。
Ray Dalio 在 1996 年用 Bridgewater 做出风险平价(Risk Parity),核心思想:不按资金比例分配,按"风险贡献"比例分配。每个资产对组合风险贡献相等。
| 资产类 | 权重(典型) |
|---|---|
| 美股 | 30% |
| 长期国债 | 40% |
| 中期国债 | 15% |
| 黄金 | 7.5% |
| 商品 | 7.5% |
优点:
缺点:
有一个正期望策略(无论是交易、赌博、还是商业投资),下面这套流程帮你从"要不要下注"到"下多大"完整决策。
回测 Sharpe 2.0 可能真实 0.5。参数不确定性意味着永远打折——全凯利几乎从不应该用。
"每个策略下 10%"× 5 个策略 = 50% 仓位 — 但如果 5 个策略相关性 0.8,实际风险等于 40% 单一策略。要用协方差矩阵。
"亏了就加倍,总能回本"——数学上是正期望,但需要无限资金。现实中破产概率 > 50%。历史上所有"Martingale 机器"最终都爆仓。
负期望下 Kelly 给出负仓位(应该反向做)。如果你坚持做多,Kelly 变成"如何最快亏光"的公式。先确认 EV > 0。
"总是下 $1,000"和"总是下 1% NAV"复利效果天差地别。长期一定要用比例,否则赚钱不复利,亏钱却按 % 计。
用 3 年波动估当前波动 = 低估突发波动。EWMA 或 1-3 月窗口更反映当下。
Kelly 常给出 > 100% 仓位,需要借钱。借贷成本 3-6%/年吃掉很多超额——实际 Kelly 要减掉 borrowing rate。
策略 A Sharpe 1.0 但尾部厚 vs 策略 B Sharpe 0.8 但分布正态。Kelly 结论不同。正态假设下 Kelly ≈ Sharpe²/2,非正态要重新推。
严格 "20% 止损" 的策略,在 2020-03 或 2008-10 会全部砍仓 → 错过反弹。MDD 规则需要和"波动状态"结合,或用波动率目标代替硬止损。
"这次我非常确定" → 压 40% 仓位。Kelly 对参数估计的稳健性比信心重要——即使高信心也建议不超 25% 单一资产。
高 Sharpe 可能来自尾部卖期权策略——99% 时间赚 1%,1% 时间赔 30%。Sortino / Calmar / MDD 必须同时看,Sharpe 不是唯一。
数学上 Half Kelly 最优,但客户 / 自己 MDD 30% 受不了。心理承受力决定实际 sizing,不是数学。顶级管理人把心理承受力作为硬约束,不是"可调优项"。